Comment savoir si un nombre est premier ?

Tous les nombres ne reflètent pas les mêmes informations en mathématiques. Certains sont qualifiés de nombres premiers car ils possèdent deux diviseurs : 1 et lui-même. Autrement dit, c’est un nombre qui ne peut être divisé que par 1 ou par lui-même lors d’un calcul de décomposition.

Pour savoir si un nombre est premier, vous disposez de plusieurs moyens pour y parvenir. Dans ce billet, on vous livre les astuces nécessaires pour déterminer un nombre premier, mais avant, on vous informe sur ce que c’est.

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Nombre premier : qu’est-ce que c’est ?

Un nombre premier, est un chiffre ou un nombre qui constituent les bases de l’arithmétique. Un nombre premier, est un nombre entier naturel qui n’admet que deux diviseurs entiers naturels : le chiffre 1 et lui-même.

Lorsqu’on parle de division dans le cas d’un nombre premier, il est important de savoir qu’il s’agit d’une division faisant intervenir des nombres entiers naturels pour obtenir un autre nombre entier naturel positif.

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Il existe plusieurs nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, sont des exemples de nombres premiers. On remarque que le chiffre 1 ne fait pas partie de la liste des nombres premiers. Cela s’explique fondamentalement par le fait que ce nombre n’a qu’un seul diviseur, lui-même. Cela n’est sans doute pas conforme aux règles.

Quelles sont les méthodes d’identification d’un nombre premier ?

Les nombres premiers ne se limitent pas à 17. Ils vont bien au-delà et il n’est pas facile de les mémoriser. Il devient alors nécessaire de connaître des astuces d’identification, pour reconnaître si un nombre est premier. Parmi les moyens disponibles pour cette tâche, il y a la méthode de la division, la méthode du crible d’Eratosthène, et plusieurs autres algorithmes utiles. Voici en détail comment utiliser ces différentes techniques pour identifier un nombre premier.

La méthode par division

Cette méthode est un algorithme appelé test de primalité. Elle repose sur des essais de division. Pour appliquer cette méthode, il faut utiliser la racine carrée du nombre concerné par la vérification. Cette racine carrée est divisée par tous les nombres premiers qui lui sont inférieurs.

Si la division par l’un de ces nombres donne un nombre entier naturel positif, alors le nombre à vérifier n’est pas un nombre premier. Au contraire, il serait un nombre composé. Si la division par tous ces nombres n’aboutit à aucun résultat de nombre entier naturel, alors le nombre à vérifier n’admet que deux diviseurs : 1 et lui-même. De ce fait, il peut être considéré comme un nombre premier.

Néanmoins, cette méthode peut être d’un grand ennui, car étant longue pour les nombres élevés. Si vous n’avez pas les bonnes astuces pour utiliser des raccourcis, vous perdrez assez de temps. Car plusieurs essais de divisions sont souvent inutiles. Par exemple, un nombre qui n’est pas divisible par 2, ne peut pas l’être par 4.

Pour éviter de perdre du temps par cette méthode fastidieuse, il existe une autre méthode plus simple et plus pratique pour identifier un nombre premier.

L’utilisation du crible d’Eratosthène

C’est une méthode dont le principe repose toujours sur des essais de division, mais elle est une version plus amusante et relativement rapide. Le crible d’Eratosthène permet d’obtenir tous les nombres premiers inférieurs à la racine carrée d’un nombre entier naturel donné supposé premier.

C’est une méthode étudié au collège qui suit des règles bien précises pour sa détermination. Pour le faire, il faut :

• Établir la liste des nombres entiers naturels inférieurs au nombre concerné ou à sa racine carrée, en commençant par 2 ;
• Retenir 2 comme le premier nombre premier de la liste  ;
• Barrer ensuite tous les multiples de 2 contenus dans cette liste  ;
• Passer au nombre qui suit 2 parmi ceux non encore barrés, le nombre 3  ;
• Barrer encore tous les multiples de 3 dans la liste  ;
• Reprendre le même processus en suivant l’ordre croissant des nombres premiers jusqu’à ce qu’il ne reste plus rien à barrer.

Les nombres premiers sont ceux qui n’ont pas été barrés dans la liste.

Si ces deux méthodes ne vous satisfont pas, il y a plusieurs autres algorithmes que vous pouvez utiliser pour déterminer si un nombre est premier ou pas. Il y a par exemple, le crible de Sundaram.

Les propriétés des nombres premiers

Les nombres premiers ont des propriétés fascinantes qui les distinguent des autres entiers. Leur nature unique et spéciale n’a cessé de captiver les mathématiciens depuis des siècles. Voici quelques-unes de leurs caractéristiques remarquables :

Les nombres premiers ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes, ce qui signifie qu’ils n’ont aucun autre diviseur propre. Par exemple, le nombre premier 7 ne peut être divisé que par 1 ou par 7, alors qu’un nombre comme 8 peut être divisé non seulement par 1 et par lui-même, mais aussi par d’autres nombres tels que 2.

Il existe une infinité de nombres premiers. Cette affirmation a été démontrée pour la première fois dans l’Antiquité grecque par le mathématicien Euclide à l’aide d’une preuve élégante appelée ‘preuve indirecte‘ ou ‘par l’absurde’. En supposant qu’il y ait un nombre fini de nombres premiers, on peut montrer que cela conduirait à une contradiction logique.

Les nombres premiers sont utilisés en cryptographie pour garantir la sécurité des communications numériques. Des algorithmes sophistiqués basés sur les propriétés mathématiques des nombres premiers permettent notamment le chiffrement asymétrique, où une clé publique est utilisée pour chiffrer les données tandis qu’une clé privée correspondante est nécessaire pour les déchiffrer.

Certains problèmes mathématiques célèbres sont directement liés aux nombres premiers, comme la conjecture de Goldbach selon laquelle tout nombre pair supérieur à 2 peut être exprimé comme la somme de deux nombres premiers. Bien que cette conjecture n’ait pas encore été prouvée, elle a résisté aux tentatives des mathématiciens pendant des siècles.

Des propriétés particulières sont associées à certains types spécifiques de nombres premiers. Par exemple, les nombres premiers jumeaux sont des paires de nombres premiers consécutifs tels que leur différence est égale à 2 (comme 3 et 5). Les nombres premiers de Mersenne sont ceux qui peuvent être écrits sous la forme Mn = 2^n -1, où n est un entier positif (comme M7 = 127).

La distribution des nombres premiers suit une tendance mystérieuse et apparemment aléatoire. Bien qu’il soit difficile de prévoir exactement où se trouvent les prochains nombres premiers dans la séquence infinie des entiers naturels, il existe néanmoins plusieurs conjectures et modèles statistiques qui permettent d’estimer approximativement leur répartition.

Utilisation des algorithmes pour vérifier si un nombre est premier

Les mathématiciens et les informaticiens ont développé divers algorithmes permettant de déterminer avec précision si un nombre donné est premier. Ces méthodes, basées sur des principes mathématiques solides, offrent une alternative efficace aux techniques plus traditionnelles telles que la division par tous les nombres inférieurs.

L’un des premiers et plus célèbres algorithmes utilisés pour tester la primalité d’un nombre est le crible d’Ératosthène. Mis au point par le mathématicien grec Ératosthène de Cyrène au IIIe siècle avant J.-C., ce procédé consiste à éliminer progressivement tous les multiples d’une certaine valeur jusqu’à atteindre la racine carrée du nombre initial. Si aucun multiple n’est trouvé dans cette plage, alors le nombre est considéré comme premier.

Une autre méthode populaire pour vérifier la primalité d’un entier est l’algorithme de Fermat. Cette méthode repose sur le petit théorème de Fermat qui stipule que si p est un nombre premier et a un entier positif inférieur à p, alors a^(p-1) ≡ 1 (mod p). En appliquant cet algorithme à plusieurs valeurs de a, on peut obtenir une forte probabilité que le nombre testé soit effectivement premier.

Plus récemment, l’algorithme de Miller-Rabin a été développé pour détecter rapidement les nombres composés en utilisant un concept appelé ‘témoin’ ou ‘pseudo-preuve’. Cet algorithme utilise aussi la propriété du petit théorème de Fermat mais avec quelques ajustements supplémentaires pour augmenter la fiabilité du test.

L’algorithme AKS (Agrawal-Kayal-Saxena) est une avancée majeure dans le domaine de la vérification de primalité. Contrairement aux autres méthodes probabilistes mentionnées précédemment, l’algorithme AKS fournit une détermination certaine des nombres premiers en temps polynomial. Il nécessite des ressources informatiques significatives et n’est donc pas toujours pratique pour les grandes valeurs.

Il faut aussi noter que ces algorithmes peuvent être combinés ou améliorés à l’aide d’autres techniques mathématiques pour obtenir des résultats plus rapides et plus précis. Les chercheurs continuent aussi à explorer de nouvelles approches et à développer constamment des outils plus efficaces pour tester la primalité des nombres.

Grâce aux progrès réalisés dans le domaine des algorithmes et au développement de nouvelles méthodes basées sur des principes mathématiques solides, pensez à bien divers